В этой статье рассказ пойдет о наложении определенных условий на неизвестные и значения функций.

Автор Тихон Тарнавский.

В прошлый раз мы остановились на возможностях программирования, предназначенных для написания собственных функций и модулей к Maxima — и теперь для их полноценного использования рассмотрим несколько инструментов работы с файлами, позволяющих сохранять и загружать эти функции и модули на диск и с диска. Далее речь пойдет о наложении определенных условий на неизвестные и значения функций. Напоследок познакомимся с функциями по работе… с функциями: это один из очень мощных инструментов, позаимствованных из функционального программирования; а также разберем несколько более крупных учебных примеров, использующих многое из изученного нами во всех статьях цикла.

Учимся читать и писать

Среди средств для операций с файлами функции с наиболее очевидными именами — save и load — имеют, вопреки привычной для Maxima логичности всех названий, различный контекст. Первая предназначена для выгрузки Maxima-выражений в виде исходных кодов на Lisp, так что если вы не знаток Lisp (да и реализации внутренних механизмов Maxima), то эта функция представляет лишь чисто академический интерес. Посему подробнее мы займемся другими функциями — для обработки так называемых пакетных (batch) файлов, хранящих выражения уже в синтаксисе самой Maxima. А поскольку в виде таких файлов поставляется немалое количество функционала Maxima, то начнем с загрузки. И вот о второй из очевидно-именуемых функций здесь уже будет рассказано.

Функции чтения файлов с выражениями Maxima существует три: demo(имя-файла), batch(имя-файла) и batchload(имя-файла). Первая предназначена для загрузки так называемых демо-файлов, задуманных, как и явствует из названия, для демонстрационных примеров. Она загружает демо-файл и выполняет его в пошаговом режиме, ожидая нажатия Enter после выполнения каждой строки. В составе Maxima поставляется значительное количество демо-файлов; упоминания о них можно найти в документации, а сами файлы несложно обнаружить среди содержимого пакета maxima-share (либо, в случае отсутствия такового в вашем дистрибутиве, просто maxima) по их расширению — .dem.

Функция batch() загружает Maxima-файл с расширением .mac или .mc (от первоначального названия программы — Macsyma) и выполняет содержащиеся в нем выражения так, как если бы они вводились прямо в текущей сессии, то есть с отображением результата каждого выражения и назначением меток %iN, %oN. Функция batchload(), напротив, подгружает пакетный файл «молча»: все назначенные в нем функции и переменные становятся доступны, но результаты не видны, и весь хранимый ввод-вывод, включая значения символов % и _ и результаты, возвращаемые функцией %th(), остается тем же, что и до вызова.

Функции batch() и batchload() используют при поиске файлов для загрузки путь (точнее сказать, шаблон, потому как в нем содержатся не только имена каталогов, но и допустимые расширения файлов), который хранится в переменной file_search_maxima. По умолчанию эта переменная содержит все каталоги, в которые устанавливаются .mac-файлы из пакетов Maxima, а также ~/.maxima, предназначенный для пользовательских файлов. Для других функций загрузки существуют отдельные переменные: file_search_lisp и file_search_demo, смысл которых понятен из их названий.

Ну и под конец здесь нужно вспомнить о вышеназванной функции load. Она, фактически, является оберткой над двумя функциями: уже описанной выше batchload() и loadfile(), вторая, совершенно аналогично первой, загружает файл, но уже не с выражениями Maxima, а с исходным кодом Lisp, то есть является парной к функции save(). Функцию load() можно, в принципе, использовать вместо batchload(): путь file_search_maxima задан в ней раньше, чем file_search_lisp, так что в случае неоднозначности она будет загружать файлы Maxima; а кроме того, так короче.

Некоторый функционал Maxima содержится в неподгружаемых автоматически внешних файлах, которые, соответственно, нужно принудительно загрузить перед использованием:

Помимо ручной загрузки нужного файла, можно также настроить Maxima на автоматическую подгрузку в случае вызова заданной функции. Делается это так: setup_autoload(имя-файла, имена-функций); нужные функции здесь перечисляются через запятую прямо после имени файла. Удобнее, конечно, будет не вызывать функцию setup_autoload() вручную (так в ней и толку немного), а настроить Maxima на автоматический ее запуск при старте программы. Файл, который, при его наличии, вызывается при каждом запуске Maxima, называется maxima-init.mac и самое логичное для него местоположение — все тот же каталог ~/.maxima. Конечно, он может содержать не только вызовы функции setup_autoload(), а любые выражения Maxima, которые вы хотите выполнять при каждом ее запуске. Использование этой функции может сделать вашу работу с Maxima намного более удобной в том случае, если вы часто используете некоторые из внешних функций Maxima или функции, вами же и написанные.

Для полноценного чтения файлов всего сказанного уже вполне достаточно, теперь перейдем к записи в них. Тут нас в первую очередь интересует функция stringout(), которая позволяет выгружать в файл любые выражения и функции Maxima в точно таком виде, в каком их загружают функции demo(), batch() и batchload(). С ее помощью можно писать выражения, которые вы хотите иметь во внешнем модуле, находясь непосредственно в интерфейсе Maxima, с последующей записью в этот самый модуль. Для выгрузки функций в один из стандартных каталогов Maxima (самым логичным вариантом будет, пожалуй, упомянутый выше ~/.maxima) имя файла во всех вариантах вызова функции stringout() нужно задавать с полным путем; в случае задания имени без пути файл будет создан в текущем каталоге, то есть в том, откуда производился запуск Maxima.

Здесь, чтобы было интереснее и не приходилось писать в файлы всякую ерунду, немного прервемся и создадим пару небольших функций.

Эта функция возвращает список всех простых чисел, меньших чем заданное целое число. Сначала мы проверяем, является ли аргумент целым числом и делаем это простейшим образом: в случае невыполнения условия оператор if, напомню, вернет false. Генерируется список тоже самым простым и коротким в реализации способом — рекурсией. (примечание для людей, далеких от программирования: рекурсивная функция — это функция, вызывающая саму себя; чаще всего такие функции строятся по принципу индукции). Здесь используется функция Maxima по имени prev_prime(), которая возвращает простое число, предшествующее заданному целому.

У рекурсии, при всей ее простоте реализации, есть неоспоримый минус — только один, но весьма существенный: чрезвычайная требовательность к объему памяти. Поэтому, для обеспечения возможности получать последовательности из больших простых чисел, добавим в наш учебный пример еще одну функцию:

Смысл, думаю, понятен по аналогии с предыдущей: теперь мы еще и ограничили возвращаемый список снизу.

Теперь, когда у нас уже есть primesbetween(), первую функцию можно написать по «принципу чайника» — сведя задачу к предыдущей:

Теперь вернемся к stringout(). Эта функция, как и многие другие, может принимать несколько различных вариантов аргументов, первым из которых всегда выступает имя файла для записи, а остальные отвечают за то, что же именно будет туда записано. В варианте stringout(имя-файла, [начало, конец]) записаны будут ячейки ввода с номерами от «начала» до «конца» включительно:

$ cat .maxima/primes.mac
primes(n):=if integerp(n) then (if n <= 2 then [] else
append(primes(prev_prime(n)),[prev_prime(n)]));
primesbetween(n,m):=if integerp(n) and integerp(m) then
(if m <= 2 or prev_prime(m) <= n then [] else
append(primesbetween(n,prev_prime(m)),[prev_prime(m)]));

Как видите, по умолчанию вывод получается не слишком красивым, поэтому сразу рассмотрим один ключ, влияющий на его формат. Долго рассказывать о нем смысла нет, лучше показать на примере:

$ cat .maxima/primes.mac
primes(x):=if integerp(x)
      then (if x <= 2 then []
              else append(primes(prev_prime(x)),[prev_prime(x)]));
primesbetween(n,m):=if integerp(n) and integerp(m)
            then (if m <= 2 or prev_prime(m) <= n then []
                    else append(primesbetween(n,prev_prime(m)),
                            [prev_prime(m)]));

Представления о правилах отступов у создателей этой опции несколько специфичные, но тем не менее, результат стал намного читабельнее. Так что, если вы планируете сохранять выражения Maxima не только для того, чтобы потом загружать их обратно, а желаете редактировать созданные файлы, я рекомендую вам прописать grind:true глобально в файле ~/.maxima/maxima-init.mac.

Идем дальше. С помощью ключевого слова input можно выгрузить в файл все ячейки ввода разом:

$ cat primes-sample.mac
primes(n):=if integerp(n)
      then (if n <= 2 then []
              else append(primes(prev_prime(n)),[prev_prime(n)]));
primesbetween(n,m):=if integerp(n) and integerp(m)
            then (if m <= 2 or prev_prime(m) <= n then []
                    else append(primesbetween(n,prev_prime(m)),
                            [prev_prime(m)]));
primes1(n):=primesbetween(1,n);
stringout(".maxima/primes.mac",[1,2]);
grind:true;
stringout(".maxima/primes.mac",[1,2]);
(N:[random(100000)],for i thru 9 do N:append(N,[N[i]+random(100000)]),N);
(P:[],for i thru 10 do P:append(P,primesbetween(N[i]-50,N[i])),P);

Кроме input, есть еще два ключевых слова: functions и values. Первое позволяет записать определения всех функций, второе — присвоение всем символам выражений их текущих значений:

$ cat .maxima/primes.mac
primes(n):=if integerp(n)
      then (if n <= 2 then []
               else append(primes(prev_prime(n)),[prev_prime(n)]));
primesbetween(n,m):=if integerp(n) and integerp(m)
             then (if m <= 2 or prev_prime(m) <= n then []
                     else append(primesbetween(n,prev_prime(m)),
                             [prev_prime(m)]));
primes1(n):=primesbetween(1,n);
$ cat primes-sample.mac
primes(n):=if integerp(n)
      then (if n <= 2 then []
               else append(primes(prev_prime(n)),[prev_prime(n)]));
primesbetween(n,m):=if integerp(n) and integerp(m)
             then (if m <= 2 or prev_prime(m) <= n then []
                     else append(primesbetween(n,prev_prime(m)),
                             [prev_prime(m)]));
primes1(n):=primesbetween(1,n);
N:[49900,61971,153219,244360,290427,347723,396481,465378,522906,568462];
P:[49853,49871,49877,49891,61927,61933,61949,61961,61967,153191,244313,244333,
  244339,244351,244357,290383,290393,290399,290419,347707,347717,396437,
  396443,396449,396479,465331,465337,465373,522857,522871,522881,522883,
  522887,568433,568439,568441,568453];

И кроме всего этого, функцию stringout() можно вызвать с непосредственным перечислением в аргументах конкретных выражений. В этом случае, надо заметить, будут сохраняться не ячейки, содержащие заданные выражения, а именно сами выражения. То есть, если перечислить символ, для которого задано значение, то в файл будет записано только это значение. С именами функций, заданными непосредственно, дело обстоит не лучше: функцию таким образом задать, по сути, вообще нельзя: если просто написать ее имя, то вместо функции будет подставлен одноименный символ (или его значение, если оно задано). Но из обеих ситуаций есть выход. Для функций — штатный: функция fundef, которая принимает имя любой пользовательской функции и возвращает ее определение в точности в таком же виде, в каком оно было введено (или могло бы быть введено) в «командной строке» Maxima, с точностью до пробелов:

$ cat .maxima/primesbetween.mac
primesbetween(n,m):=if integerp(n) and integerp(m)
           then (if m <= 2 or prev_prime(m) <= n then []
                   else append(primesbetween(n,prev_prime(m)),
                           [prev_prime(m)]));
$ cat .maxima/primes1.mac
primes(n):=if integerp(n)
      then (if n <= 2 then []
              else append(primes(prev_prime(n)),[prev_prime(n)]));
primes1(n):=primesbetween(1,n);

А для символов можно использовать небольшую хитрость: блокировать вычисление переданного выражения, а в нем написать сначала сам символ, а потом через двоеточие — его же, предварив знаком принудительного вычисления (два апострофа):

$ cat random-primes.mac
P:[49853,49871,49877,49891,61927,61933,61949,61961,61967,153191,244313,244333,
  244339,244351,244357,290383,290393,290399,290419,347707,347717,396437,
  396443,396449,396479,465331,465337,465373,522857,522871,522881,522883,
  522887,568433,568439,568441,568453];

В довершение темы работы с файлами стоит обратить внимание еще на один момент: при загрузке файлы в текущем каталоге не ищутся — и как раз для него надо задавать путь, причем полный, а не через ./имя-файла:

«Прослушайте объявление»

Теперь поговорим о функциях, позволяющих налагать определенные условия на выражения, которыми оперирует Maxima. Таких функций существует две, и достаточно разноплановых; но определенная связь между ними есть, так как все условия, заданные ими на данный момент, хранятся в общей «базе». Первая из этих функций называется declare (объявлять). С ее помощью можно объявлять весьма разнообразные факты о произвольных символах или выражениях; синтаксис ее весьма прост: declare(имя, факт) или declare(имя₁, факт₁, имя₂, факт₂, …); факты задаются с помощью ключевых слов. Сами факты я бы разделил на три группы: «технические» факты Maxima, позволяющие использовать наделенный ими символ некоторым специальным образом при вводе выражений; факты о символах (атомарных выражениях); и факты о значениях функций. К первым относятся, к примеру, свойства evflag и evfun, о которых шла речь в описании функции ev; некоторые штатные функции обладают ими по умолчанию, а с помощью функции declare мы можем присвоить эти свойства любым другим, в том числе и пользовательским, функциям. Вторая группа фактов несет информацию о неизвестных; например, мы можем указать, что некоторая неизвестная является константой, или что ее значение — целое. И третья группа — примерно то же самое, но о функциях; примеры: четная функция (f(−x) = f(x)), аддитивная (f(x + y) = f(x) + f(y)) или целочисленная. Для краткости просто перечислим наиболее интересные из возможных фактов, сгруппировав соответственно трем упомянутым группам.

Технические факты

evfun

Позволяет применять функцию или переменную как опцию, то есть «выражение, имя-функции» вместо «имя-функции(выражение)» или «выражение, имя-переменной» вместо «имя-переменной:true; выражение». Подробнее см. «Maxima. Функции и операторы».

bindtest

Запрещает использовать символ в выражениях до присвоения ему значения. При таком использовании Maxima выдаст ошибку. Пример см. в документации.

feature

Делает заданное имя именем свойства (факта), что дает возможность использовать его точно так же, как все перечисленные здесь имена.

Факты о символах

constant

Имя трактуется как константа.

scalar

Имя трактуется как скалярная величина. На это также влияет флаг assumescalar: если он равен true, то все неопределенные символы воспринимаются как скаляры. Тут есть небольшая коллизия: если верить документации, то по умолчанию assumescalar равен false, реально же в Maxima 5.10.0 он равен true.

nonscalar

Имя трактуется как не-скалярная величина, то есть матрица или вектор.

integer, noninteger

Целое и нецелое число.

even, odd

Четное и нечетное целое число.

Факты о функциях

rassociative

Объявляет функцию как «ассоциативную» по правому аргументу.

lassociative

Аналогично — по левому аргументу.

nary

Объявляет «n-арную» функцию. Это и два предыдущих названия не совсем точны: n-арной правильно называть функцию от n аргументов, а лево- и правоассоциативной — функции именно с односторонней ассоциативностью, то есть, для «лево-» f(f(a,b),c) ≠ f(a,b,c) ≠ f(a,f(b,c)). А в Maxima все три факта объявляют на самом деле полно-ассоциативную функцию от произвольного числа аргументов, а различаются только тем, как будут расставлены скобки по умолчанию.

symmetric/commutative

Оба ключевых слова объявляют функцию как симметричную (коммутативную).

antisymmetric

Объявляет функцию как антисимметричную.

outative

Константа выносится за знак функции.

Многие из фактов, которые можно устанавливать с помощью функции declare, сохраняются в «базе данных» фактов. Узнать текущее состояние этой базы можно с помощью функции facts(). Ее можно вызывать, либо передав в качестве единственного аргумента имя, список фактов по которому мы хотим получить, либо вообще без аргументов — тогда будут выданы все известные факты обо всех пользовательских именах. Удалить свойства позволяет функция remove(). Она, как и многие другие, имеет несколько вариантов вызова. Будучи вызвана как remove(имя, свойство) или remove(имя₁, свойство₁, имя₂, свойство₂, …), она лишает каждое переданное имя одного соответствующего ему свойства. Можно также передавать ей списки имен и свойств: remove([имя₁, имя₂, …], [свойство₁, свойство₂, …]); тогда каждое имя из списка будет лишено всех перечисленных свойств. Пар списков тоже может быть более одной: remove(список-имен₁, список-свойств₁, список-имен₂, список-свойств₂, …) — этот вызов аналогичен последовательным remove(список-имен₁, список-свойств₁); remove(список-имен₂, список-свойств₂); … И последний интересующий нас вариант — remove(all, свойство) удаляет «свойство» со всех имен, у которых оно есть.

Вторая «условная» функция — это функция assume() (допускать, принимать). Здесь все проще: в качестве аргументов ей можно передавать в любом количестве самые обыкновенные равенства и неравенства. Напомню только, что задавать их нужно не в синтаксической, а в логической форме, то есть не «a=b», «a#b», а «equal(a,b)», «not equal(a,b)». Из логических операторов допускается также использование and (по сути assume(x>0 and x<1) это то же самое, что и assume(x>0, x<1)), но не or — база фактов не поддерживает информацию вида «или»; и речь не о синтаксисе, а именно о конструкциях, то есть выражения типа not(a>b and a<c) тоже недопустимы. Факты, добавленные assume(), также видны функции facts():

Ключевое слово kind используется только для отображения тех фактов из базы, которые добавлены с помощью declare().

Если факты, заданные функцией declare(), удаляются вызовом remove(), то для assume() есть своя «обратная» функция — forget(), которая также принимает любое количество условий (точно таких же как и assume()), либо в качестве отдельных аргументов, либо списком.

Общая база фактов используется этими двумя не очень похожими функциями неспроста: все, кому эти факты могут пригодиться, используют обе их разновидности, причем одновременно. Например, уже известный нам предикат is:

Еще один пример использования assume()/declare() — возможность избежать неопределенностей. Вы, возможно, помните, как в одном из примеров статьи «Maxima. Алгебра и начала анализа» в ответ на попытку посчитать некий интеграл Maxima задала нам вопрос о знаке входящего в него символа. Вот в таких ситуациях тоже может пригодиться assume, дабы предвосхитить расспросы:

Вот мы и подошли к концу «теоретической» части. Надеюсь, функционала, рассмотренного на протяжении шести статей, будет достаточно для решения многих задач, а также для того, чтобы черпать дальнейшие сведения из документации — ведь мы уже изучили такие вещи, благодаря которым Maxima становится не просто «вычислялкой» отдельных небольших примеров, а настоящей «средой программирования с математическим уклоном», позволяющей создавать свои собственные математические «типы данных» — числовые системы, функционалы и прочая и прочая — и полноценные программные модули, которые могут использовать весь встроенный (или также собственноручно достроенный) функционал Maxima. Рассмотрим, напоследок, более серьезный учебный пример, в котором эти возможности можно будет лучше прочувствовать. Одна заявленная тема у нас пока осталась нераскрытой — функции для работы с функциями и «глубокой» обработки выражений. Но это настолько серьезный инструмент, что на маленьких примерах его рассматривать было бы бессмысленно, а потому мы поговорим о нем в приложении-практикуме. Удачи!

→ Пишем свой diff()

Скачать документ в формате PDF

• MAXIMA